Book Description

Ce travail porte sur la commande de systèmes à événements discrets via des techniques de comparaison stochastique. Les systèmes à événements discrets sont des systèmes dynamiques qui évoluent de façon discontinue. On s’intéresse en particulier à ceux de ces systèmes qui peuvent être représentés par des itérés de fonctions linéaires aléatoires (chaînes de Markov), ou par des itérés de fonctions linéaires dans l'algèbre des dioïdes (systèmes max-plus linéaires). D'abord, nous nous sommes intéressés à l'évaluation de mesures quantitatives du comportement en régime transitoire de chaînes de Markov. Pour les processus issus du monde réel, on se heurte au problème de l’explosion combinatoire du temps de calculs et de la taille de l'espace d’états. Pour y remédier, des techniques d'agrégation bornantes basées sur la comparaison de chaînes de Markov de dimensions différentes, dont le but principal est le calcul de bornes, sont proposées. Ces méthodes de comparaison sont inspirées par la théorie des ordres stochastiques et sont formulées sous la forme de plusieurs critères, à savoir un critère géométrique basé sur l’inclusion de polyèdres, un critère d’invariance positive d’ensembles, et un critère algébrique basé sur le Lemme de Haar donné en 1918. Des concepts similaires peuvent être énoncés pour des systèmes max-plus linéaires. Comme pour les chaînes de Markov, des techniques de comparaison de systèmes max-plus linéaires sont proposées, dont les deux objectifs principaux sont la simplification de modèles et le contrôle via l’invariance positive d’ensembles. Enfin, nous explorons la propriété d’invariance positive d’ensemble max-plus linéaires et en particulier des ensembles max-plus ellipsoïdaux. Ces ensembles ne sont autres que des ensembles polyédriques dans l’algèbre linéaire habituelle. Les caractérisations d’invariance positive de telles classes de systèmes max-plus linéaires sont formulées sous la forme d’inclusion de polyèdres dans l’algèbre linéaire. On en déduit des conditions d’existence et de calcul de lois de commande par retour d’état linéaire statique, basé sur la gamma-algorithme, pour des systèmes dynamiques.